的自守表示定义一些l-函数，并猜测一般线性群自守表示的一些l-函数跟来自数论的伽罗瓦群的一些表示的l-函数是一样的。这个猜想被朗兰兹本人和其他数学家进一步拓展、细化，逐渐形成了一系列揭示数论、代数几何、表示论等学科之间深刻联系的猜想。
特别地，拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领，对更抽象的所谓函数体而非通常的数体情形提供了这样一种完全的理解。我们可以将函数体设想为由多项式的商组成的集合，对这些多项式商可以像有理数那样进行加、减、乘、除。拉佛阁对于任意给定的函数体建立了其伽罗瓦群表示和与该体相伴的自守型之间的精确联系。拉佛阁的研究是以1990 年菲尔兹奖获得者弗拉基米尔?德林费尔德的工作为基础，后者在20 世纪70 年代证明了相应的朗兰兹纲领的特殊情形。拉佛阁首先认识到德林费尔德的工作可以被推广而为函数体情形的相应的朗兰兹纲领提供一幅完整的图像。在这一工作的过程中，拉佛阁还发现了一种将来可能被证明是十分重要的新的几何构造，所有这些发展的影响正在波及整个数学。
朗兰兹纲领是对现在数学诸多领域一种统一性的看法和普遍性的观点，由一系列规模宏大的猜想所组成，其中有些猜想甚至还没有形成明确的数学语言。朗兰兹纲领还有很多的各种各样的推广，比如说几何朗兰兹纲领可能和物理关系更密切一点，还有p‘-adic 的朗兰兹纲领和数论的关系更加密切一点这里还有很多的问题等等大家去探索。朗兰兹纲领是数学中一系列影响深刻的构想，联系了数论、代数几何以及群表示理论。依靠朗兰兹纲领，数学家在一个领域不能解决的问题，可以在其他领域证明解决。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中，直到它被解决为止。所以，朗兰兹纲领是21 世纪最大的数学难题，也是未来最有潜力的研究领域!