chevalier对伽罗瓦说：“你确定要参加那个决斗吗？”
伽罗瓦没有回声，只是在一张纸上快速的做着运算。伽罗瓦看过阿贝尔的论文，认为阿贝尔只知道普通的五次方程不可解，但是具体的为什么不可解却不知道。同时也有的五次方程是可以解的，哪个可以解，哪个不可以解，伽罗瓦找到了一种新方法。
chevalier认为伽罗瓦是一根筋，为了一个女人跟专业的杀手对决，根本不值。但是伽罗瓦一向就是这种性格，谁的话也听不进去。
伽罗瓦对chevalier说：“你别管其他，之需要把我写好的稿子，给那些专家们看看。希望他们会理解，如果他们理解了，他们肯定会知道其中重要的价值。阿贝尔把自己的方程写的太难，他是用解方程的思想去直接推导的，才找到的矛盾，但是他那种方式没有找到本质。我这种才是真正的本质。”
对于伽罗瓦而言，自己惹上了麻烦。仔细想想，自己的一生最需要什么，他也不知道。心爱的女人？法国理想的秩序？优美的数学真理？伽罗瓦发现自己可能更喜欢的是数学优美的真理，那是一种纯粹的秩序，巧妙而神奇，远非人类能够全部轻易可以洞察到的。
“二、三、四次方程可以解出来，那是有一个内在的性质的。”
“是对称性，这种对称性在五次方程中没有。”
“而这种对称性，跟交换群的对称性，在数学上是一回事，两者是等价的。只是长的不一样罢了。只要我能够证明这两者是等价的，同时在五次的交换群里找到异常的地方，就可以了。”
“可什么是异常呢？”
伽罗瓦一边写着，一边一个劲的说，也不管chevalier心里的那种对自己的担忧。
伽罗瓦在自己的草纸上把3、4次的交换群都画出来了。然后画出了第5次，发现第5交换群有问题。这个问题就是5次交换群没有正规子群。
“如果没有正规子群的话，就能说明五次方程是没有四则运算解的吗？”
伽罗瓦开始从域论和扩张域上来寻找答案。
第一：域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。
第二：若k/f为伽罗瓦扩张，k上的f-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为。
第三：对于h是的子群，称k中在h中任意元素作用下不动元的集合为h的不动域，这是一个中间域。
第四：对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。
第五：f?e?k形式的伽罗瓦扩张，e/f是正规扩张当且仅当是的正规子群。
第六：在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。
广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩