文中推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，研究出三角级数收敛的准则，并定义了黎曼积分，对完善分析理论产生深远的影响。
当时的资格演讲是有一套固定模式和传统的，申请者须向系主任提交三个演讲题目，但通常只准备前两个题目。作为选题目的系主任会为了不为难申请者，一般只选前两个题目中的一个。
如此看来，黎曼其实能够轻易就通过演讲的，只是他遗忘了一点，那就是当时的系主任是高斯，而高斯压根不知道这个规矩，然后黎曼悲剧了。
黎曼准备了他很熟悉的两个主题，但照例他提交了三个题目，而作为陪衬的最后一个题目正是：“论作为几何基础的假设”。
结果高斯一看到第三个题目如此充满挑战性，就毫不犹豫地选了这道题。
出乎意料的选择让黎曼有点惊慌失措，但他还是乖乖地做好准备，并进行演讲。演讲当天，因为不习惯在公共场合进行演讲的黎曼一开始结结巴巴的，但进入状态后，他讲起了经常思考的课题――另类几何。
整个过程中，他特别指出了日常生活中不适用欧几里得规则的例子，比如球面。在球面上所有经线都与赤道相交呈90°，因此这些经线会彼此平行，却在极点相交。
就这样，一个小时的《论作为几何基础的假设》演讲成为了数学史上发表的内容最丰富的长篇论文，而且在表述方面也堪称典范，勾勒出一个截然不同的几何世界（超越了欧几里得的几何世界）。
这次的演讲不但发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，建立了黎曼空间的概念，还开创了黎曼几何，为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。因此高斯兴奋不已，顺利让黎曼获得了讲师职位。
虽然黎曼成为了讲师，但还是很穷，毕竟当时讲师的薪资靠听课学生的数量来决定的。日子过得很苦，但是黎曼坚持一边授课一边研究数学煎熬着，直到1859年接替去世的狄利克雷成为教授，生活才得到改善。
1857年，黎曼发表了关于阿贝尔函数的论文，文中引出黎曼曲面的概念，并从拓扑、分析等角度深入研究，阐明了黎曼-罗赫定理，使得阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论进入了新的转折点和创造了对代数拓扑发展影响深远的多个概念。
1859年8月，他被选为柏林科学院通讯院士，为了表达自己的感激之情，他决定将研究素数分布而写的论文《论小于已知数的素数的个数》献给柏林科学院。
在这篇论文中，黎曼给出了黎曼函数的积分表示与它满足的函数方程，并提出多个断言：黎曼ζ函数的所有非平凡根的实部很可能都是1/；黎曼函数拥有虚部在0与t 之间的根的个数估计式（1905年曼格尔德特成功证明）等等。
不过，尴尬的是这篇论文仅仅只有8页，里面的内容极为精炼，该有的性质证明都没有，搞得