瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基给在哥廷根的塔杜施·巴纳赫维奇写信，喜欢讨论很多关于集合论的问题。
1916年，谢尔宾斯基说：“我发现了正规数。”
巴纳赫维奇说：“什么是正规数？”
谢尔宾斯基说：“这种数在任何基底下每个数字出现机会均等。”
巴纳赫维奇说：“是无理数这样的数字吗？”
谢尔宾斯基说：“没错，就是数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数。”
巴纳赫维奇明白了这个“数字”指的是小数点前有限个数字，以及小数点后无穷数字序列。
巴纳赫维奇说：“你如何去证明，这个是正规的？核心思想是什么？”
谢尔宾斯基说：“x的数字中找到字串s的概率，就像在完全随机生成的数字序列中的一样。如果以任何b为底x都是正规，x称为正规数。”
巴纳赫维奇说：“你的意思是随机导致的这种正规吗？但你如何去证明这个是随机的？”
谢尔宾斯基说：“波莱尔—坎特利引理还记得吗？”
巴纳赫维奇想起来，这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。用波莱尔—坎特利引理，他证明了正规数定理：几乎所有实数是正规的，意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。
巴纳赫维奇说：“这就是把随机性有用在勒贝格测度上了。”
谢尔宾斯基说：“他这定理证明存在正规数，但首先给出一个例子的是我。非正规数集合是不可数的，这个结果容易得出，想法是从每个实数中完全除去一个数字。”
巴纳赫维奇要求谢尔宾斯基打个比方，谢尔宾斯基列出了一下几个情况。
钱珀瑙恩数(champernowne)：
0.1234567891011121314151617...
是从连结所有自然数的数字而得出的数，它以10为底正规，但在某些底不是正规。
科普兰—艾狄胥常数(peland-erd?s)：
0.235711131719232931374143...
从连结所有质数的数字而得出的数，也是以10为底正规。
0.1010010001000010000010000001...
有理数在任何底都不是正规，因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韦罗妮卡·比彻(veronica becher)和桑蒂亚戈·菲盖拉(santiago figueira)构造一个可计算正规数；蔡廷常数(chaitin)给出一个不可计算的正规数例子。
要证明一个不是明确构造为正规数的