是高斯发明的，是n趋近无穷时=Σ/*z^n/n!这样的方程，其中的=……(a+n-1)这样的阶乘函数。
在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。
波赫哈默尔对kummer说：“这个函数中的z绝对值小于1 。”
kummer说：“这个函数能干什么用？”
波赫哈默尔说：“很多函数都可以用这个方程表示。”
波赫哈默尔然后开始写出以下表示，作为例子。
=
(1-z)^-a=
arcsinz=
kummer说：“我刚刚找到了b求无穷大的情形，名字叫合流超几何函数。贝塞尔柱函数也可以由此函数表示出来。”
kummer写出合流超几何函数，形式为=。
波赫哈默尔满意的点点头。
勒让德函数，雅克比多项式，切比雪夫多项式，gegenbauer多项式都能用超几何函数表示。所有具有三个正则奇点的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。
其它特殊情形还包括krawtchouk多项式，meixner多项式，meixner–pollaczek多项式。
超几何函数有pfaff 变换和 euler 变换，都是分式线性变换的例子，跟莫比乌斯变换有关系。
除此以外还有广义超几何函数，这是超几何函数推广，就是这个式子关于的项变得很多了。