（9）一般互反律在任意数域中的证明。1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（davis）、普特南（putnan）、罗宾逊（robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（baker）、费罗斯（philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）一般代数数域内的二次型论。德国数学家哈塞（hasse）和西格尔（siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（）取得了新进展。
（12）类域的构成问题。即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数可写成形式∑，x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明可写成形式∑+ξ+ξ)(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。
（14）某些完备函数系的有限的证明。即域k上的以x1，x2，…，xn为自变量的多项式fi（i=1，…，m），r为k〔x1，…，xm]上的有理函数f（x1，…，xm）构成的环，并且f（f1，…，fm）∈k[x1，…，xm]试问r是否可由有限个元素f1，…，fn的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
（15）建立代数几何学的基础。荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。注一舒伯特（schubert）计数演算的严格基础。一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。此问题前半部涉及代数曲线含有闭