卡拉比猜想是由意大利著名几何学家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的：在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引力场。
卡拉比（calabi）猜想在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。
1941年的霍奇（hodge）理论刚刚由魏尔（weyl）和小平邦彥（kodaira）整理完成。
1945年陈省身引进的陈示性类由希策布鲁赫（hirze
uch）发扬光大，证明了拓扑中的符号差定理与代数几何中的hirze
uch-riemann-roch定理。
工程师出身的博特（bott）证明了他不朽的同伦群周期性定理。
这些结果很快激发出了atiyah-singer指标定理。塞尔（se
e）用勒雷（leray）的谱序列计算了代数拓扑中球面的同伦群，用层论写下了代数几何名篇gaga，将复分析系统地引入代数几何。
kodaira证明了他著名的嵌入定理，发展了复流形的形变理论。
稍后，米尔诺（milnor）发现了七维怪球，纳什（nash）证明了黎曼（riemann）流形的嵌入定理。
1954年的国际数学家大会，菲尔兹（fields）奖的获奖者是小平邦彥（kodaira）和塞尔（se
e），他们的主要获奖工作都是将复分析、微分几何与代数几何完美地结合在一起。
31岁的意大利裔数学家卡拉比，在会议的邀请报告中用一页纸写下了他著名的猜想：令m为紧致的卡勒（kahler）流形，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式r，都存在唯一的一个卡勒度量，其ricci形式恰好是r。卡拉比还粗略地描述了一个他的猜想的证明方案，并证明了，如果解存在，那必是唯一的。
但3年后，在1957年的一篇关于calabi-yau流形的几何结构的文章中，他意识到这个证明根本行不通。这里需要求解一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作复的monge-ampere方程。他去请教20世纪最伟大的数学家之一的魏尔（andre weil）教授。魏尔说：“当时还没有足够的数学理论来攻克它。”
众所周知，庞加莱（poincare）著名的单值化定理告诉我们，一维复流形的万有覆盖只有简单的三种，球面、复平面和单位圆盘。
如何将单值化定理推广到高维流形，这个问题几乎主导了现代几何与拓扑的发展。而即使从复一维到复二维流形，问题的复杂性已经远超想象，被数学家称作是从天堂到了地狱。或者说是上帝创造了黎曼面，简单美丽而又丰富多彩，是魔鬼制造了复曲面，内容复杂，令人眼花缭乱，头晕目眩。
卡