点就说服我也要研究圈圈了...却原来研究圈圈的人还不知道怎样描述引力子，那除了这种 planck 标度上的圈圈图景外，他们描述的究竟是什么样的物理？
sal:黑洞、黑洞熵、早期宇宙学...
simp:是的，我也听说“圈量子宇宙学”很热门，有人甚至声称暴涨宇宙论可以从量子引力效应中得到...但是让我来泼一点冷水，圈量子引力的 hilbert 空间是不可分的(nonseparable)，对吗？
sal:不对。以前曾经有一个阶段 hilbert 空间没有合适的定义。但是现在已经有了合适的定义，依据这种定义 hilbert 空间是可分的(separable)。
simp:但是圈量子引力是建立在圈状态(loop state)之上的，后者又是由 holonomy operator 产生的...
sal:是的。
simp:...我们知道在 qcd 中这些东西可不怎么样，它们都是不可重整的；这种场算符只在一维空间上延展，这是不够的。如果你用这些圈状态作为正交基态的话，一切都会变得一团糟。把圈表象(loop representation)作为出发点本身就是错误的。
sal:您所说的这些对于 qcd 来说一点没错，但引力的情况完全不同。
simp:为什么？
sal:正是因为微分同胚不变性。或者，如果您愿意的话，是因为体积量子化。在物理上，圈状态并不是无限细的，它们具有 planck 线度。从数学上讲，那些圈状态在坐标空间的局域化是纯规范效应。真正的物理自由度并不在于圈状态的局域与否，而在于去除了微分同胚变换之后的东西，即圈与圈之间的环绕与链接。事实上，那些无穷大正是在去除微分同胚变换时被除掉了。
simp:我不很确定自己是否理解了这一点。
sal:要真正理解就只有进入数学细节之中。不过关键的是圈状态在引力中变成了好的状态。让我用这样的方式来表述吧：在一个点阵上，圈状态可以组成完全正常的基，对不对？
simp:那当然，问题是在取连续极限时才出现的。
sal:圈量子引力中所有的考虑都是在一个 planck 尺度的点阵上的，因为圈状态并不处在一个背景时空上，而是处在由所有其它圈状态组成的点阵上的。
simp:嗯，我隐约有点明白了。圈量子引力是 lorentz 不变的吗？
sal:我不知道。我想它应该和经典广义相对论一样。只要引力场的状态是 lorentz 不变的，理论中的 lorentz 不变性就不应该被破坏，反之，如果引力场的状态不是 lorentz 不变的，理论也就不是 lorentz