，f为区域数，则由于每个区域至少由三条边围成，每条边正好隔开两个区域，所以区域数和边数满足：2e≥3f。假设每个国家都至少有6个邻国，也就是说每个顶点都连出不少于6条边，那么由于每条边对应两个顶点，所以顶点数和边数满足：2e≥6v。合起来就有：
v+f≤e
但这与图论中著名的欧拉公式：v+f=e+2矛盾。
因此不可能每个国家都有不少于六个邻国，必定有一个国家邻国数目不超过5。
接下来肯普考察n+1个国家中邻国数目最小的国家，称之为a国。a国邻国的数目不超过5个。如果a国的邻国数目不超过3个，那么可以把a国“去掉”（比如和其中一个邻国连成一体），形成一个n个国家的地图，这个地图可以用4种颜色着色，而原来的3个邻国至多用了3种颜色。这时候将a国“放回去”，染上第4种颜色，就等于找到给原地图4-着色的方法[8]。
这种能够“去掉”一个国家，减少国家数的局部后来被称为“可约构形”（reduciblenfiguration）。
接下来肯普证明a国有4个邻国和5个邻国的情况仍然是可约构形，于是都能够化为不多于n个国家的情况。因此任何n+1个国家的地图仍然可以用四种颜色染色，因而通过归纳法可知，四色定理成立。
肯普的采用的方法后来被称为“肯普链”方法（kempechain）来证明可约性
尽管肯普的做法后来被人找出错误，但肯普的思想却延续了下来。
20世纪起，欧洲数学界对四色定理的研究出现停滞。相反地，这个问题在美国得到更多的关注。
不少杰出的数学家研究了这个问题，并作出很大贡献。一部分的努力是修正肯普的证明；
另一方面的努力则是将四色问题进行转化，以使用更多有力的数学工具。
对四色问题的转化从并未停止过。
从拓扑学的版本转化至图染色的版本后，有人又在1898年提出新的变形。
肯普和其他科学家已经注意到，证明四色问题只需要考虑三个国家有共同“交点”的情况，更多国家有共同交点的情形可以转化为前者。
因此这样对应的染色图中，每个顶点恰会连出三条边。这样的图被称为“三度图”（trivalentmap）。
有数学家观察到，如果三度图中任意由边围成的区域，边的个数都是3的倍数，那么图可以被4-染色。他进一步发现，只要存在一种给图的顶点赋值+1或-1的方法，使得每个区域的顶点数字之和都被3整除，那么图可以被4-染色。可以证明，4-染色和存在赋值方法是等价的。
在美国，数学家对四色定理的研究从未停止过。
除了约翰·霍普金斯大学的皮尔斯