（mechanica，1736）的第一卷中探讨了这一问题。首先，他假设在初始时刻，质点p位于点a，且有一个垂直于oa方向的初速度va，因此它的移动轨迹将会是一个椭圆，长轴为aa'，o是其中一个焦点。之后，欧拉假设垂直于oa的速度va不断减小直到零。这样，椭圆就会不断变扁，同时点a'会不断接近点o，当va减为零时，椭圆会与线段oa重合。
莱昂哈德·欧拉提出了一个与达朗贝尔不同的结论：他首先设想质点有一个垂直于oa且不为0的速度va，因此它的运动轨迹会是一个焦点为o，长轴为aa'的椭圆。接着，他减小速度va，直到它变成0，这样椭圆就会不断变扁，这时，点a'就会不断接近点o。当椭圆扁到极限时，椭圆轨道上的运动就会变为点a和点o之间来回的直线运动，完全不一样了。
通过把轨道的几何形状和点p的运动速度推向极限，欧拉得到了这个奇特的结论。当然，他这个取极限的方法也没什么根据。而且就像达朗贝尔那样，欧拉也设定o是抽象的几何点，没有任何实在物体，而要有个物体的话，至少在某种程度上能够证明点p回弹是合理的。此外，这个解释显然给引力中心赋予了一种斥力，一些牛顿力学的反对者指责椭圆运动中也存在这样的悖论。他们不理解，为什么每颗行星都会花费一半的时间远离吸引着它的太阳。
拉普拉斯：模棱两可的调和
像欧拉和达朗贝尔这样两个当时最杰出的理论学者，却在这样一个看起来十分普通的力学问题上得出了相反的结论。显然，这个问题并不简单。但毫无疑问，他们的后辈很快会尝试终结这场科学争论。1799年，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（pie
e-simon laplace），这位世纪之交的重要数学家在他的《天体物理》（traite de mecanique celeste）一书中阐述了他的观点。
拉普拉斯先是回顾了不断压扁椭圆，通过取极限来计算物体落向引力中心的运动规律的方法。接下来，他强调：“朝向焦点的椭圆运动（原文如此）与被压扁到极限的椭圆轨道上的运动有着本质的区别。在前一种情况下，物体会越过焦点，然后会飞到和起始位置同样远的地方；后一种情况下，物体会经过焦点，然后回到起始点。若在远日点（点a），物体具有一个运动轨迹切线方向的速度，不管这个速度多小，它都会引起这种差异。但这种差异不会影响物体抵达焦点所用的时间。”
不论是原文，还是把笔误“椭圆运动”更正为“直线运动”之后，这段话都显得十分模糊。靠着不指名道姓地宣称达朗贝尔（前一种情况）和欧拉（后一种情况）都是对的，拉普拉斯似乎完成了一个壮举，调和了不可调和的矛盾。实际上，虽然他对达朗贝尔的结论没有任何异议，但是他使用了欧拉的证明方式。他引入了无穷扁的椭圆这一有趣的概念，意思就是说，