），还有（5，12，13）和（145，408，433）。
费马接着发问：能否在高维下找到类似的数组呢？或者说，形如 a3 + b3 = c3的方程有没有正整数解？那么 a4 + b4 = c4 呢？a10，007+ b10，007 = c10，007呢？费马的答案是不能。将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，不存在满足条件的a，b，c。费马在《算术》的页边写下名句：“关于此，我确信我发现了一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。”
他似乎也从没在别处详细阐述过。费马去世后，他的儿子samuel出版了一本新版《算术》，里面囊括了他老爹在页边空白处所做的所有笔记。笔记中的数学命题，往往没写下证明过程，留下了一个极为诱人的挑战。几年内，读者几乎证明出了所有命题，除了那个关于高维勾股数组的命题，那是“最后一个”未能被证明的命题（费马大定理也称作“费马最后的定理”）。
几个世纪以来，费马大定理成了科学家、业余爱好者和“民科”们追逐的对象，每次看似靠近却发现没有出路。（数学王子高斯是早期少数抵制其魅力的数学家之一，他驳斥其为“一个孤立的命题，让我没有什么兴趣”。）法国科学院为它设立了数目可观的赏金。但即使最优秀的数学家在费马大定理上取得的进展也很有限。费马在笔记中给出了n=4时的定理证明。数学家之后也证出大定理对n100以及相应的n的倍数都是成立的，但是对所有n，他们既无法证明，也无法证伪。
不过，他们的探索带来了别的收获。从失败的废墟中，诞生出开辟广阔数学新领域的深层理论。1847年，法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（augustin louis cauchy）和他的竞争对手ga
iel lame都相信自己借助包含虚数的复数系证明了费马大定理。典型的虚数形式是bi，其中i =√(-1)；b是实数。一个复数写作a+bi，具有一个实部a和一个虚部bi。
柯西和 lame的证明都基于一个被普遍认为正确的猜想：复数和实数一样，可以被分解成唯一一组质数对。比如6=2x3，除了更改顺序分解成3x2，不会有别的结果。但令两人感到尴尬的是，他们同时代的德国数学家ernst kummer证明某些复数可以有多种方式的质因数分解。比如6 + 0i，可以分解成2 x (√2 + i) x (√2 – i)或者(1 +√5i) x (1 –√5i)。
为了修复复数的唯一质因数分解性质，kummer创造了一个新的代数概念——理想（ideal），这对后世抽象代数的发展有着重要作用。美国代数学家leonard eugene dickson在20世纪初写道，kummer的创造是“上世纪最重要的科学成就之一”。
但费马大定理的证明停滞在这里。