19世纪中后期，大多数主流数学家跟从高斯的选择，搁置了费马大定理的证明工作。他们已经穷尽了所有可能的方法，提不出新的解决思路。尝试证明大定理或是推翻它，都是时间和精力上的巨大冒险。一个大有可为的数学家可能穷尽一生，苦思冥想，最后思维枯竭却拿不出和努力相当的成果。
切入口——谷山-志村猜想
怀尔斯在10岁时第一次接触到费马大定理。像许多拥有数学梦的孩子一样，他幻想着能够解决它。但是在剑桥攻读博士期间，怀尔斯听从导师的建议，选择避开那条可能的死胡同。另一方面，他转而学习在密码学中非常有用的椭圆曲线。椭圆曲线的图看起来就像甜甜圈的表面。
在怀尔斯到普林斯顿大学数学系任教之后，1986年加州大学伯克利分校的数论家ken ribet提出了一个意想不到的思路，这对费马大定理的证明具有深远的意义。此前30年，东京大学两位年轻学者谷山丰（utaka taniyama）和志村五郎（goro shimur）提出了“谷山-志村猜想”，建立起椭圆曲线（代数几何的对象）和模形式（数论中用到的某种周期性全纯函数）之间的重要联系。
模形式是数论中常用的工具，其存在于四维双曲空间（一种弯曲的空间）中，具有惊人的对称性。就像正方形绕中心旋转四分之一圈可以和自身重合；同样，一个模形式经过旋转、反射或者其他变换后，还是能与自身重合。另一方面，椭圆曲线本身就是一种代数结构。当你在复平面中画出满足 y2 = x3 + ax + b （a 和b 是常数）的图像，就能得到椭圆曲线。
谷山和志村提出了一个大胆而激进的想法：模形式是椭圆曲线的另一种形式。如果他们是对的，那么至今所有有关模形式的研究成果都可以用椭圆曲线的语言表示出来，反过来也一样。证明这个猜想将是统一数学不同分支的关键。
这或许是证明或证伪费马大定理的突破口。20世纪70年代，法国一位名叫yves hellegouarch的在读博士生证明，如果费马大定理是错误的，即能找到方程an + bn = cn （n2）的一组整数解（a，b，c），那么就可以得到满足y2 = (x + bn)条件的椭圆曲线。十年后，德国数学家gerhard frey 进一步指出，只有谷山-志村猜想错误的情况下，上述椭圆曲线才会存在。或者说得更直接些：谷山-志村猜想一旦成立，那么费马大定理必将成立。
ribet证明了frey的猜想是正确的。这让怀尔斯倍受鼓舞，现在他可以重拾小时候证明费马大定理的梦想而不必背离当下主流的数学研究了。他躲进家中的顶楼，决心证明谷山-志村猜想。
到1993年12月，距剑桥演讲已经过去了6个月，怀尔斯几乎没有告诉任何人，这个数学界等待了几个世纪的证明在他身后摇摇欲坠。只有论文的审稿人和他的密